数形结合学习策略在小学数学课堂中的应用
运城市第二实验中学 曲晓阳 冯红荣
数形结合策略在课堂中的应用，需要教师课前做到心中有数，并能通过精心设计，使数形结合的应用在课堂上成为一种有意识的教学行为。本文将结合课堂教学，谈谈由实践研究总结出的数形结合学习策略，以及这些策略的具体应用。
一、进行情境创设，为数形结合的应用创造机会
小学生的学习是基于情境的。教师要善于抓住这一点，根据教学实际，巧妙利用教材中的情景素材或者结合生活实际进行情境创设，引导学生采用数形结合进行问题探究，为理解数形结合本质，学习数形结合方法创造机会。
例如，北师大版二年级数学教材下册“认识余数”一课中，由创设“搭一搭”的教学情境引入新课，组织学生开展搭正方形的操作活动。学生在动手搭建的过程中，可以发现13根小棒搭3个正方形后，还剩1根小棒，不够再搭1个正方形。借助用搭小棒的操作过程来帮助学生认识余数，采用“以形助数”的方式让学生直观感受平均分物过程中，有时存在不能全部分完的现象。这样，不仅可以加深学生对余数本质意义的理解，而且有助于学生数形结合意识的发展与提升。
二、善于设问启发，将数形结合的渗透纵向深入
基于数形结合思想，教师可以根据教学需要，通过巧设问题，引导启发，把学生对数形结合思想的理解引向更深层次。
例如，北师大版小学数学三年级面积的学习中，可先抛出问题：如何比较两个通过直接观察无法判断的图形的面积？此问题可引发学生自主思考、动手操作，把两个图形重叠后再剪拼比较。在此基础上，再提出一个递进式问题：如果两个图形不能移动，该如何比较？这将驱动学生主动利用手中统一的小的“单位”（橡皮、硬币、小方块等）进行测量，最终得出哪个图形包含的“单位”多，哪个图形的面积就大。通过问题的引领，学生能够进一步感受面积意义，为后续的“面积单位”学习打下基础；“运用小实物的某一个表面去度量大的物体面积”的数形结合活动经验，也能将学生对数形结合的感悟引向更深层次，有助于培养学生的量感，发展数学核心素养。
三、通过观察操作，给数形结合的应用搭建平台
小学生以形象思维为主，获取感性认识的重要途径是观察；而动手操作亦是理解数形结合思想方法的一种有效途径。数学课堂中，教师可以引导学生通过观察操作，调动学生多种感官参与学习活动，让学生在观察、操作、体验中感受数形结合本质，掌握数形结合方法。
以北师大版二年级数学《长方形与正方形》为例，在对长方形、正方形边的研究中，先让学生观察图形的边，并对图形边的特点进行直觉推断。在此基础上，通过“量一量、标一标、折一折、比一比”等动手操作进行验证，这为“以数解形”的数形结合方式搭建了平台，方便学生借助数量来描述图形的边，从而在数据比较中揭示长方形、正方形边的特性，加深了对图形特征的认识和理解。
四、精选练习题目，为数形结合的渗透拓宽路径
数形结合思想是基于知识而又高于知识的一种较为隐性的数学意识、观念和方法，需要学生在反复的体验和练习应用中才能逐步内化为一种具有个体色彩的数学思维。因此，教师要善于从学生的角度出发进行练习安排，为学生提供更多采用数形结合解决问题的机会。
例如，北师大版二年级数学下册“有余数除法的应用”第一课时，教材创设了师生出游租船的生活情境，旨在引导学生运用有余数除法解决实际问题。本课一般会有两个学习难点：一是学生虽然学了除法，但不一定明白“至少”问题；二是学生难以联系实际意义解释计算结果。教学中，学生通过画图、列表等“以形助数”的数形结合方法就能合理解释计算结果，理解租船情境中的“至少”问题。然而，若脱离了租船情境，学生再去解决其他“至少”问题，仍会存有困难。为此，教师在练习环节中，选择教材11页“练一练”的1、2两道具有代表性的练习题目，让学生获得反复体验数形结合的机会。通过两道练习题的巩固应用，不仅有利于加深学生对“至少”问题的理解，进一步体会有余数除法的意义，而且有助于学生感受数形结合方法解决问题的简便性，发展应用意识。
五、重视画图训练，使数形结合的应用扎实有效
画图是运用数形结合解决问题的必要途径，通过画图可以帮助学生建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型；利用直观图分析实际情境与数学问题，探索解决问题的思路，有助于学生把握问题本质，明晰思维路径。然而，实践当中很多学生并不善于借助画图来分析和解决问题。究其原因，一是学生没有体会到画图的优势；二是学生画图技巧欠缺，不会画图；三是虽能画图，却不能将形与数建立关联与对应。因此，教师要把画图训练作为一项任务推进教学，以帮助学生切实有效地运用数形结合进行问题分析和解决。
首先，要创造机会让学生感受画图的优势，体会数形结合的本质。例如，一年级的“排队”问题：一列队伍中，笑笑前面有4人，后面有5人，这列队伍一共有多少人？问题解决中，大部分学生都是直接列式4+5=9（人），只有少数学生列式是4+1+5=10（人）。针对这样的不同结果，可以引导学生采用画图的方法进行验证。最终，学生“画”出了结论，并在交流中，充分感受到了画图的优势：不仅能将抽象的问题直观化、明朗化，而且借助图示更方便表达和交流。
此外，要重视对学生进行画图的系统训练，让学生逐步学会画图、喜欢画图、善于画图并逐渐内化为一种意识和习惯。例如，在全校开展“数形结合每周一题”的画图专项训练。各年级数学教师每周从教材中含有数形结合思想的知识内容出发，结合学生存在的画图困难，进行有针对性的习题命制；然后，组织学生开展“数形结合每周一练”；教师再针对练习反馈中存在的问题，对学生进行方法指导及个别辅导。这样，通过每周一命题，每周一检测，每周一反馈的专项训练，不仅实现了学生画图技巧的进阶，而且体现了数形结合核心素养的进阶。
六、巧用信息技术，使数形结合的呈现更为丰富
在数学课堂中，注重将信息技术与教学相融合，可以为课堂教学场景带来丰富多样的呈现方式，从而激发学生的学习兴趣。例如，教师可以利用数学专用软件进行模拟实验和动态演示，如希沃白板绘图工具、虚拟现实（VR）技术等让抽象的数学知识变得更加直观化，让学生亲身体验几何模型，加深对几何概念的理解。信息技术为数形结合的渗透提供了更多手段和途径，可以有效地激发学生的学习兴趣，促进学生对数学概念的理解，帮助学生知识体系的建构。
七、以评价促提升，让数形结合的应用成为自觉
在渗透数形结合思想的教学过程中，教师要时刻关注学生对数形结合的感悟、应用和反思情况，采取形式多样、维度多样、主体多样的方式进行评价，注重“教—学—评”一致性，以评促教，帮助学生逐步实现数形结合思维进阶，形成思维习惯，并自觉应用。
以学生运用数形结合解决问题的作品评价为例，教师选取具有代表性的不同作品进行展示，先由小作者进行思路说明和自我评价，其他同学在了解意图后再进行对比评价，最后由教师对不同作品进行鼓励性、引导性评价。多元化的评价方式让不同层次的学生都能在评价中感受数形结合的意义和价值，增强学生主动应用数形结合的动机和信心，从而在后续学习中能够自觉应用该方法分析和解决问题。
学生对于数形结合意识的体悟由感性上升为理性，不是一朝一夕能够完成的，需要经过长期的反复渗透、不断应用、螺旋上升才能逐步完成。为此，教师要把数形结合学习策略的应用精心设计在教学的各个环节，让数学课堂成为渗透数形结合思想的主阵地。
【注：本文系山西省教育科学“十三五”规划课题“基于核心素养的小学数学深度学习实践研究” （编号：GH-19344）子课题——“小学数学课堂教学中数形结合学习策略的实践研究”（编号：GH-19344-YC-045）阶段性研究成果之一。】
一、进行情境创设，为数形结合的应用创造机会
小学生的学习是基于情境的。教师要善于抓住这一点，根据教学实际，巧妙利用教材中的情景素材或者结合生活实际进行情境创设，引导学生采用数形结合进行问题探究，为理解数形结合本质，学习数形结合方法创造机会。
例如，北师大版二年级数学教材下册“认识余数”一课中，由创设“搭一搭”的教学情境引入新课，组织学生开展搭正方形的操作活动。学生在动手搭建的过程中，可以发现13根小棒搭3个正方形后，还剩1根小棒，不够再搭1个正方形。借助用搭小棒的操作过程来帮助学生认识余数，采用“以形助数”的方式让学生直观感受平均分物过程中，有时存在不能全部分完的现象。这样，不仅可以加深学生对余数本质意义的理解，而且有助于学生数形结合意识的发展与提升。
二、善于设问启发，将数形结合的渗透纵向深入
基于数形结合思想，教师可以根据教学需要，通过巧设问题，引导启发，把学生对数形结合思想的理解引向更深层次。
例如，北师大版小学数学三年级面积的学习中，可先抛出问题：如何比较两个通过直接观察无法判断的图形的面积？此问题可引发学生自主思考、动手操作，把两个图形重叠后再剪拼比较。在此基础上，再提出一个递进式问题：如果两个图形不能移动，该如何比较？这将驱动学生主动利用手中统一的小的“单位”（橡皮、硬币、小方块等）进行测量，最终得出哪个图形包含的“单位”多，哪个图形的面积就大。通过问题的引领，学生能够进一步感受面积意义，为后续的“面积单位”学习打下基础；“运用小实物的某一个表面去度量大的物体面积”的数形结合活动经验，也能将学生对数形结合的感悟引向更深层次，有助于培养学生的量感，发展数学核心素养。
三、通过观察操作，给数形结合的应用搭建平台
小学生以形象思维为主，获取感性认识的重要途径是观察；而动手操作亦是理解数形结合思想方法的一种有效途径。数学课堂中，教师可以引导学生通过观察操作，调动学生多种感官参与学习活动，让学生在观察、操作、体验中感受数形结合本质，掌握数形结合方法。
以北师大版二年级数学《长方形与正方形》为例，在对长方形、正方形边的研究中，先让学生观察图形的边，并对图形边的特点进行直觉推断。在此基础上，通过“量一量、标一标、折一折、比一比”等动手操作进行验证，这为“以数解形”的数形结合方式搭建了平台，方便学生借助数量来描述图形的边，从而在数据比较中揭示长方形、正方形边的特性，加深了对图形特征的认识和理解。
四、精选练习题目，为数形结合的渗透拓宽路径
数形结合思想是基于知识而又高于知识的一种较为隐性的数学意识、观念和方法，需要学生在反复的体验和练习应用中才能逐步内化为一种具有个体色彩的数学思维。因此，教师要善于从学生的角度出发进行练习安排，为学生提供更多采用数形结合解决问题的机会。
例如，北师大版二年级数学下册“有余数除法的应用”第一课时，教材创设了师生出游租船的生活情境，旨在引导学生运用有余数除法解决实际问题。本课一般会有两个学习难点：一是学生虽然学了除法，但不一定明白“至少”问题；二是学生难以联系实际意义解释计算结果。教学中，学生通过画图、列表等“以形助数”的数形结合方法就能合理解释计算结果，理解租船情境中的“至少”问题。然而，若脱离了租船情境，学生再去解决其他“至少”问题，仍会存有困难。为此，教师在练习环节中，选择教材11页“练一练”的1、2两道具有代表性的练习题目，让学生获得反复体验数形结合的机会。通过两道练习题的巩固应用，不仅有利于加深学生对“至少”问题的理解，进一步体会有余数除法的意义，而且有助于学生感受数形结合方法解决问题的简便性，发展应用意识。
五、重视画图训练，使数形结合的应用扎实有效
画图是运用数形结合解决问题的必要途径，通过画图可以帮助学生建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型；利用直观图分析实际情境与数学问题，探索解决问题的思路，有助于学生把握问题本质，明晰思维路径。然而，实践当中很多学生并不善于借助画图来分析和解决问题。究其原因，一是学生没有体会到画图的优势；二是学生画图技巧欠缺，不会画图；三是虽能画图，却不能将形与数建立关联与对应。因此，教师要把画图训练作为一项任务推进教学，以帮助学生切实有效地运用数形结合进行问题分析和解决。
首先，要创造机会让学生感受画图的优势，体会数形结合的本质。例如，一年级的“排队”问题：一列队伍中，笑笑前面有4人，后面有5人，这列队伍一共有多少人？问题解决中，大部分学生都是直接列式4+5=9（人），只有少数学生列式是4+1+5=10（人）。针对这样的不同结果，可以引导学生采用画图的方法进行验证。最终，学生“画”出了结论，并在交流中，充分感受到了画图的优势：不仅能将抽象的问题直观化、明朗化，而且借助图示更方便表达和交流。
此外，要重视对学生进行画图的系统训练，让学生逐步学会画图、喜欢画图、善于画图并逐渐内化为一种意识和习惯。例如，在全校开展“数形结合每周一题”的画图专项训练。各年级数学教师每周从教材中含有数形结合思想的知识内容出发，结合学生存在的画图困难，进行有针对性的习题命制；然后，组织学生开展“数形结合每周一练”；教师再针对练习反馈中存在的问题，对学生进行方法指导及个别辅导。这样，通过每周一命题，每周一检测，每周一反馈的专项训练，不仅实现了学生画图技巧的进阶，而且体现了数形结合核心素养的进阶。
六、巧用信息技术，使数形结合的呈现更为丰富
在数学课堂中，注重将信息技术与教学相融合，可以为课堂教学场景带来丰富多样的呈现方式，从而激发学生的学习兴趣。例如，教师可以利用数学专用软件进行模拟实验和动态演示，如希沃白板绘图工具、虚拟现实（VR）技术等让抽象的数学知识变得更加直观化，让学生亲身体验几何模型，加深对几何概念的理解。信息技术为数形结合的渗透提供了更多手段和途径，可以有效地激发学生的学习兴趣，促进学生对数学概念的理解，帮助学生知识体系的建构。
七、以评价促提升，让数形结合的应用成为自觉
在渗透数形结合思想的教学过程中，教师要时刻关注学生对数形结合的感悟、应用和反思情况，采取形式多样、维度多样、主体多样的方式进行评价，注重“教—学—评”一致性，以评促教，帮助学生逐步实现数形结合思维进阶，形成思维习惯，并自觉应用。
以学生运用数形结合解决问题的作品评价为例，教师选取具有代表性的不同作品进行展示，先由小作者进行思路说明和自我评价，其他同学在了解意图后再进行对比评价，最后由教师对不同作品进行鼓励性、引导性评价。多元化的评价方式让不同层次的学生都能在评价中感受数形结合的意义和价值，增强学生主动应用数形结合的动机和信心，从而在后续学习中能够自觉应用该方法分析和解决问题。
学生对于数形结合意识的体悟由感性上升为理性，不是一朝一夕能够完成的，需要经过长期的反复渗透、不断应用、螺旋上升才能逐步完成。为此，教师要把数形结合学习策略的应用精心设计在教学的各个环节，让数学课堂成为渗透数形结合思想的主阵地。
【注：本文系山西省教育科学“十三五”规划课题“基于核心素养的小学数学深度学习实践研究” （编号：GH-19344）子课题——“小学数学课堂教学中数形结合学习策略的实践研究”（编号：GH-19344-YC-045）阶段性研究成果之一。】